Les développements mathématiques présentés ci-dessous sont une invitation à s'émerveiller devant l'élégance de la physique théorique. Même sans en maîtriser tous les détails, ils rappellent que les mathématiques constituent l'un des langages les plus puissants jamais développés pour décrire l'Univers 🤓. « Les mathématiques sont le langage dans lequel Dieu a écrit l'Univers. »
Par Marc Schneider Fondateur et rédacteur d’Observateur de la Vie et la Science, magazine indépendant
Article publié le 03/08/2026
I. Relativité générale — Albert Einstein
Gμν+ΛgμνRμνΓμνρRρσμνRσνSδS=c48πGTμν, ◈Gμν=Rμν−21Rgμν, ◈ R=gμνRμν,=∂λΓμνλ−∂νΓμλλ+ΓλρλΓμνρ−ΓνρλΓμλρ, ◈=21gρσ(∂μgσν+∂νgσμ−∂σgμν), ◈=∂μΓνσρ−∂νΓμσρ+ΓμλρΓνσλ−ΓνλρΓμσλ, ◈=Rρσρν,∇λgμν=0,∇μTμν=0, ◈=16πGc4∫M(R−2Λ)−gd4x+∫MLm−gd4x, ◈=16πGc4∫M(Rμν−21Rgμν+Λgμν−c48πGTμν)δgμν−gd4x=0.
Rμν−(1/2)Rgμν+Λgμν=(8πG/c⁴)Tμν, ◈gμνRμν−(1/2)Rgμνgμν+Λgμνgμν=(8πG/c⁴)gμνTμν, ◈R−2R+4Λ=(8πG/c⁴)T, ◈R=4Λ−(8πG/c⁴)T, Rμν=Λgμν+(8πG/c⁴)[Tμν−(1/2)Tgμν], ◈T=gμνTμν, ∇μGμν=0, ◈∇μgμν=0, ∇μTμν=0, ◈∇[λRρσ]μν=0, ◈∇μRμν−(1/2)∇νR=0, Tμν=0⇒Rμν−(1/2)Rgμν+Λgμν=0, Λ=0⇒Rμν=0, R=0, Gμν=0, ds²=gμνdxμdxν, δ∫ds=0, d²xμ/dτ²+Γμαβ(dxα/dτ)(dxβ/dτ)=0, uμ=dxμ/dτ, ◈uν∇νuμ=0, ◈gμνuμuν=−c². ◈∇μ(Rμν−(1/2)Rgμν+Λgμν)=(8πG/c⁴)∇μTμν, ◈∇μgμν=0, ◈∇μRμν=(1/2)∇νR, ◈ ∇μTμν=0, ◈ T=gμνTμν, ◈G=gμνGμν=−R, ◈R=4Λ−(8πG/c⁴)T, ◈Rμν=Λgμν+(8πG/c⁴)(Tμν−(1/2)Tgμν), ◈Tμν=0⇒Rμν=Λgμν, ◈Λ=0⇒Rμν=0,
◈Gμν=0, ◈R=0, ◈RρσμνRρσμν=K, ◈RμνRμν=I₂, ◈ R²=I₁. ◈Bμ=∇νGμν, ◈Bμ=0, ◈∇[λRμν]ρσ=0, ◈∇αRβγ−∇βRαγ=∇μRμαβγ, ◈ δΓρμν=(1/2)gρσ(∇μδgσν+∇νδgσμ−∇σδgμν), ◈δRμν=∇ρδΓρμν−∇νδΓρμρ, ◈δR=(Rμν+gμν□−∇μ∇ν)δgμν, ◈δ(√−gR)=√−g(Gμνδgμν+∇μVμ), ◈δS=0⇒Rμν−(1/2)Rgμν+Λgμν=(8πG/c⁴)Tμν.
II. Le tenseur métrique
◈ds²=gμνdxμdxν, ◈gμν=gνμ, ◈det(gμν)=g, ◈gμνgνσ=δμσ, ◈δμν={1 si μ=ν,0 sinon}, ◈dxμ=(cdt,dx,dy,dz), ◈ds²=−c²dt²+dx²+dy²+dz², ◈ημν=diag(−1,1,1,1), ◈gμν=ημν+hμν, ◈|hμν|≪1, ◈gμν=ημν+O(h), ◈ds²=ημνdxμdxν+hμνdxμdxν, ◈dgμν=gμν,αdxα, ◈∂αgμν=∂gμν/∂xα, ◈∇αgμν=0, ◈∇αgμν=∂αgμν−Γβαμgβν−Γβανgμβ=0. ◈gμλgλν=δμν, ◈δgμν=−gμαgνβδgαβ, ◈δg=ggμνδgμν, ◈√−g=(−detgμν)½, ◈δ√−g=−(1/2)√−ggμνδgμν, ◈gμνdxν=dxμ, ◈ds²=g00(dt)²+2g0idx0dxi+gijdxidxj, ◈gij=gji, ◈g0i=gi0, ◈gμν=gνμ. ◈ gμνgνλ=δμλ, gμνgνλ=δμλ, ◈gμαgαν=δμν, ◈∂ρ(gμαgαν)=0, ◈(∂ρgμα)gαν+gμα(∂ρgαν)=0, ◈∂ρgμν=−gμαgνβ∂ρgαβ, ◈∇ρgμν=0, ◈ ∇ρgμν=0, ◈Γρμν=Γρνμ, ◈Γρμν=(1/2)gρσ(∂μgσν+∂νgσμ−∂σgμν), ◈∂λgμν=Γσλμgσν+Γσλνgμσ, ◈dgμν=(∂λgμν)dxλ, ◈dgμν=(Γσλμgσν+Γσλνgμσ)dxλ, ◈δ(ds²)=δ(gμνdxμdxν), ◈δ(ds²)=δgμνdxμdxν+2gμνdxμδ(dxν), ◈ds²=gμνuμuνdτ², ◈ gμνuμuν=−c², ◈ uμ=gμνuν, ◈ uμuμ=−c².
◈gμν={g00,g01,g02,g03;g10,g11,g12,g13;g20,g21,g22,g23;g30,g31,g32,g33}, ◈gμν=gνμ, ◈det(gμν)=g, ◈g−1=(gμν), ◈gμν=(cof(gνμ))/g, ◈gμνgνσ=δμσ, ◈tr(gμνgνσ)=δμμ=4, ◈δg=g gμνδgμν, ◈δln|g|=gμνδgμν, ◈∂λln√−g=(1/2)gμν∂λgμν, ◈Γμμλ=∂λln√−g, ◈∇μVμ=(1/√−g)∂μ(√−gVμ). ◈ds²<0⇒intervalle temporel, ◈ds²=0⇒intervalle lumineux, ◈ds²>0⇒intervalle spatial, ◈dτ=(1/c)√−ds², ◈ dl²=gijdxidxj, ◈dx0=cdt, ◈ds²=g00c²dt²+2g0icdtdxi+gijdxidxj, ◈g00<0, ◈ gij positif défini, ◈ημν=diag(−1,1,1,1), ◈ημν=diag(−1,1,1,1), ◈ ημαηαν=δμν, ◈hμν=gμν−ημν, ◈h=ημνhμν, ◈h̄μν=hμν−(1/2)ημνh, ◈∂μh̄μν=0.
III. Les symboles de Christoffel
◈gμν=[g00 g01 g02 g03 | g10 g11 g12 g13 | g20 g21 g22 g23 | g30 g31 g32 g33], ◈gμν=gνμ, ◈det(gμν)=g, ◈gμνgνσ=δμσ, ◈ gμλgλν=δμν, ◈gμαgαν=δμν, ◈tr(gμνgνσ)=4, ◈g−1=(gμν), ◈gμν=(cof(gνμ))/g, ◈δg=g gμνδgμν, ◈δln|g|=gμνδgμν, ◈√−g=(−g)½, ◈ ∂λ√−g=(½)√−g gμν∂λgμν, ◈Γμμλ=∂λln√−g, ◈∇μVμ=(1/√−g)∂μ(√−gVμ).
◈ds²=gμνdxμdxν, ◈dxμ=(cdt,dx,dy,dz), ◈uμ=dxμ/dτ, ◈uμ=gμνuν, ◈uμuμ=−c², ◈ds²=gμνuμuνdτ², ◈dτ=(1/c)√−ds², ◈dl²=gijdxidxj, ◈ dx0=cdt, ◈ds²=g00c²dt²+2g0icdtdxi+gijdxidxj, ◈g00<0, ◈ gij>0, ◈ημν=diag(−1,1,1,1), ◈hμν=gμν−ημν, ◈|hμν|≪1, ◈gμν=ημν+hμν, ◈ h=ημνhμν, ◈h̄μν=hμν−(1/2)ημνh. ◈∂αgμν=∂gμν/∂xα, ◈dgμν=(∂αgμν)dxα, ◈∇αgμν=0, ◈∂αgμν=Γβαμgβν+Γβανgμβ, ◈ δ(ds²)=δ(gμνdxμdxν), ◈δ(ds²)=δgμνdxμdxν+2gμνdxμδ(dxν), ◈lim(r→∞)gμν=ημν, ◈gμν→ημν, ◈det(ημν)=−1, ◈ημαηαν=δμν, ◈ ημνημν=4, ◈gμν=gνμ. ◈Γρμν=(1/2)gρσ(∂μgσν+∂νgσμ−∂σgμν), ◈Γρμν=Γρνμ, ◈Γμ=Γμνν, ◈ Γμ=(1/√−g)∂ν(√−ggμν), ◈ ∂λgμν=Γσλμgσν+Γσλνgμσ, ◈∇λgμν=∂λgμν−Γσλμgσν−Γσλνgμσ=0, ◈∇λgμν=0⇒Γ compatible avec gμν, ◈Γρμν=0⇔espace plat cartésien, ◈Γρμν≠0⇔coordonnées générales ou espace courbe, ◈Γρμν=gρσΓσμν, ◈Γρμνgρλ=Γλμν, ◈Γρμν=Γρ(μν).
◈∇μVν=∂μVν−ΓλμνVλ, ◈∇μVν=∂μVν+ΓνμλVλ, ◈∇μTαβ=∂μTαβ+ΓαμλTλβ+ΓβμλTαλ, ◈∇μTαβ=∂μTαβ−ΓλμαTλβ−ΓλμβTαλ, ◈∇μδνα=0, ◈ ∇μgαβ=0, ◈∇μgαβ=∇μgαβ=0. ◈d²xρ/dτ²+Γρμν(dxμ/dτ)(dxν/dτ)=0, ◈uμ=dxμ/dτ, ◈duρ/dτ+Γρμνuμuν=0, ◈uν∇νuμ=0, ◈ Γρμνuμuν=aρgrav, ◈Γρμν→0 lorsque gμν→ημν.
IV. Le tenseur de Riemann
◈Rρσμν=∂μΓρνσ−∂νΓρμσ+ΓρμλΓλνσ−ΓρνλΓλμσ, ◈Rρσμν=−Rσρμν, ◈Rρσμν=−Rρσνμ, ◈Rρσμν=Rμνρσ, ◈Rρ[σμν]=0, ◈ ∇λRρσμν+∇μRρσνλ+∇νRρσλμ=0, ◈Rρσμν=gρλRλσμν, ◈Rρσμν=gμαgνβRρσαβ, ◈Rρσμν=gρλgσαRλαμν, ◈RρσμνRρσμν=K. ◈ Rμν=Rρμρν, ◈R=gμνRμν, ◈Gμν=Rμν−(1/2)Rgμν, ◈Rρσμνgρσ=0, ◈Rρσμνgμν=0, ◈Rρσμν=0⇒espace plat, ◈Rρσμν≠0⇒espace courbe, ◈Rμν=0⇒vide gravitationnel, ◈Gμν=(8πG/c⁴)Tμν−Λgμν.
◈∇ρ∇σVμ−∇σ∇ρVμ=RμνρσVν, ◈[∇ρ,∇σ]Vμ=RμνρσVν, ◈[∇ρ,∇σ]Vμν=RμλρσVλν+RνλρσVμλ, ◈[∇ρ,∇σ]Tαβ=RαλρσTλβ+RβλρσTαλ, ◈ Rμνρσ=Γμσν,ρ−Γμρν,σ+ΓμρλΓλσν−ΓμσλΓλρν. ◈Rρσμν=0⇒ημν, ◈Rρσμν≠0⇒gμν≠ημν, ◈RμνRμν=I₂, ◈R²=I₁, ◈Cρσμν=Rρσμν−(1/2)(gρμRσν−gρνRσμ−gσμRρν+gσνRρμ)+(R/6)(gρμgσν−gρνgσμ), ◈CρσμνCρσμν=W. ◈ Rρσμν=gραRασμν, ◈Rρσμν=gσαRραμν, ◈ Rρσμν=gμαRρσαν, ◈Rρσμν=gναRρσμα, ◈Rρσμν=−Rσρμν=−Rρσνμ=Rμνρσ, ◈Rρσμν+Rρμνσ+Rρνσμ=0, ◈∇[λRρσ]μν=0, ◈ ∇λRρσμν=∂λRρσμν+ΓραλRασμν+ΓσαλRραμν+ΓμαλRρσαν+ΓναλRρσμα, ◈RρσμνRρσμν=K, ◈εαβγδRαβμνRγδμν=P, ◈K=0⇒espace de Minkowski, ◈K>0⇒courbure non nulle, ◈Rμν=gρσRρμσν, ◈R=gμνRμν, ◈ Gμν=Rμν−(1/2)Rgμν.
◈Rρσμνuσuν=aρμ, ◈D²ξρ/Dτ²=−Rρσμνuσuνξμ, ◈ξμ⇒vecteur de séparation géodésique, ◈D/Dτ=uμ∇μ, ◈ uμuμ=−c², ◈ Rρσμν=0⇒D²ξρ/Dτ²=0, ◈Rρσμν≠0⇒déviation géodésique, ◈Δℓ≈Rρσμνξρuσξμuν. ◈Cρσμν=Rρσμν−(1/2)(gρμRσν−gρνRσμ−gσμRρν+gσνRρμ)+(R/6)(gρμgσν−gρνgσμ), ◈Cρσμν=Cμνρσ, ◈Cρσμρ=0, ◈CρσμνCρσμν=W, ◈Rρσμν=Cρσμν+(partie de Ricci), ◈espace conforme⇔Cρσμν=0, ◈espace plat⇒Rρσμν=0⇒Cρσμν=0.
V. La métrique de Schwarzschild
◈ds²=−(1−2GM/rc²)c²dt²+(1−2GM/rc²)⁻¹dr²+r²dθ²+r²sin²θdφ², ◈rs=2GM/c², ◈gtt=−(1−rs/r), ◈grr=(1−rs/r)⁻¹, ◈det(gμν)=−r⁴sin²θ, ◈ dτ=dt√(1−2GM/rc²), ◈ν∞/νr=√(1−2GM/rc²), ◈z=(1−2GM/rc²)⁻¹/²−1, ◈E=(1−2GM/rc²)c²(dt/dτ), ◈L=r²(dφ/dτ), ◈(dr/dτ)²+Veff(r)=E²/c², ◈Veff(r)=(1−2GM/rc²)(c²+L²/r²), ◈u=1/r, ◈d²u/dφ²+u=GM/L²+3GMu²/c², ◈Δφ≈6πGM/[a(1−e²)c²], ◈α≈4GM/(bc²), ◈ Δt≈(2GM/c³)ln(4r₁r₂/b²), ◈Rμν=0, ◈R=0, ◈RρσμνRρσμν=48G²M²/(c⁴r⁶), ◈r→∞⇒gμν→ημν, ◈ r=rs⇒horizon des événements, ◈ r→0⇒singularité de courbure.
◈t=(1−2GM/rc²)τ, ◈ dr/dt=(dr/dτ)(dτ/dt), ◈dφ/dt=(dφ/dτ)(dτ/dt), ◈Ω=dφ/dt, ◈Ω²=GM/r³, ◈vc=√(GM/r), ◈vesc=√(2GM/r), ◈γ=(1−v²/c²)⁻¹/², ◈E²=(dr/dτ)²+Veff(r), ◈Veff(r)=(1−2GM/rc²)(1+L²/(r²c²))c², ◈dVeff/dr=0⇒orbite circulaire, ◈d²Veff/dr²>0⇒orbite stable, ◈ d²Veff/dr²<0⇒orbite instable. ◈risco=6GM/c², ◈rph=3GM/c², ◈rmb=4GM/c², ◈A=4πrs², ◈A=16πG²M²/c⁴, ◈κ=c⁴/(4GM), ◈T=(ħc³)/(8πGMkB), ◈S=(kBA)/(4ℓP²), ◈ℓP=√(ħG/c³), ◈MP=√(ħc/G), ◈tP=√(ħG/c⁵).
◈dA≥0, ◈dS≥0, ◈λobs/λém=(1−2GM/rc²)⁻¹/², ◈νobs=νém√(1−2GM/rc²), ◈τ∞>τr, ◈Δτ=Δt√(1−2GM/rc²), ◈lim(r→∞)Δτ=Δt, ◈ lim(r→rs)Δτ→0, ◈lim(r→∞)gtt→−1, ◈lim(r→∞)grr→1, ◈lim(r→∞)ds²→ημνdxμdxν. ◈Rμν=0, ◈Gμν=0, ◈Tμν=0, ◈ R=0, ◈ K=RρσμνRρσμν=48G²M²/(c⁴r⁶), ◈K→0 lorsque r→∞, ◈K→∞ lorsque r→0, ◈horizon:r=2GM/c², ◈photon sphere:r=3GM/c², ◈ ISCO:r=6GM/c². ◈r=r+rsln|r/rs−1|, ◈ v=t+r/c, ◈u=t−r*/c, ◈ds²=−(1−rs/r)c²dvdu+r²dΩ², ◈dΩ²=dθ²+sin²θdφ², ◈ΩH=0, ◈ξμ=(1,0,0,0), ◈ ξμξμ=gtt, ◈ξμuμ=−E/c², ◈pμ=muμ, ◈pμpμ=−m²c², ◈kμkμ=0, ◈ds²=0⇒géodésique lumineuse, ◈ds²<0⇒géodésique temporelle, ◈ ds²>0⇒géodésique spatiale.
◈Γttr=GM/[r²c²(1−2GM/rc²)], ◈Γrrr=−GM/[r²c²(1−2GM/rc²)], ◈Γθrθ=1/r, ◈Γφrφ=1/r, ◈Γφθφ=cotθ, ◈Γθφφ=−sinθcosθ, ◈ d²t/dτ²+2Γttr(dt/dτ)(dr/dτ)=0, ◈d²r/dτ²+Γrrr(dr/dτ)²+Γθθr(dθ/dτ)²+Γφφr(dφ/dτ)²=0. ◈Rc=2GM/c², ◈M=Rc c²/(2G), ◈ ρcrit=3c⁶/(32πG³M²), ◈A=16πG²M²/c⁴, ◈dA=(32πG²M/c⁴)dM, ◈dM=(κ/8πG)dA, ◈κ=c⁴/(4GM), ◈TH=ħκ/(2πkBc), ◈SBH=kBA/(4ℓP²), ◈ ℓP²=ħG/c³. ◈Pμ=∫TμνdΣν, ◈Jμν=∫(xμTνα−xνTμα)dΣα, ◈∇μTμν=0, ◈∇μGμν=0, ◈δ∫R√−gd⁴x=0, ◈Gμν+Λgμν=(8πG/c⁴)Tμν, ◈ Λ→0⇒Schwarzschild, ◈M→0⇒Minkowski, ◈c→∞⇒Newton.
